Wirtschaftsinformatik: Spezielle Betriebswirtschaftslehre (Produktion)

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HDS / CM, Kurs vom 01.04.2006 - 30.09.2006

Spezielle Betriebswirtschaftslehre (Produktionsbetriebe): Produktionsfunktionen (Produktionsfunktion, Produktionstheorie und Kostentheorie; Maximalprinzip und Minimalprinzip; Substitutionalität; Substitutionale Produktionsfunktionen; Limitationalität), Kostenfunktionen (Von der Produktionsfunktion zur Kostenfunktion; Minimalkostenkombination; Limitationale Produktionsfunktion; Erweiterungsansätze für betriebswirtschaftliche Produktionsfunktionen), Beschäftigungsabhängige und beschäftigungsunabhängige Kosten (Kapazität und Beschäftigung).

  1. Produktionsfunktionen
  2. Kostenfunktionen
  3. Beschäftigungsabhängige und beschäftigungsunabhängige Kosten

Produktionsfunktionen

Produktionsfunktion, Produktionstheorie und Kostentheorie

Die Produktionsfunktion gibt an, mit welchen Arten und Mengen an Input welcher Output (und wiederum in welchen Arten und Mengen) erstellt wird. Dabei wird unterstellt, dass die Produktionsfunktion nur die funktionale Beschreibung des effizienten Randes der ihr zugrunde liegenden Technologien darstellt.

Wirkzusammenhänge im Produktionssystem können über zwei Schritte erklärt werden. Erster Schritt: Darstellung der Beziehungen zwischen den Einsatzfaktoren und den erstellten Produktionsmengen in mengenmäßiger, zeitlicher und qualitativer Hinsicht (Produktionstheorie). Zweiter Schritt: Beschreibung und Erklärung monetärer Beziehungen zwischen Kosteneinflussfaktoren und der Kostenhöhe (Kostentheorie).

Maximalprinzip und Minimalprinzip

Die Produktionsfunktion bildet ein Mengengerüst ab, mit dem die bestmögliche Kombination von Einsatzfaktoren r1 bis rn gefunden werden soll.

  1. Maximalprinzip: Gestaltung des Output (Ausbringungsmenge) bei gegebenem Input (Einsatzfaktoren)
    • Output-orientierte Produktionsfunktion:

      Ausbringungsmenge xj = f(rij) = f(r1, r2, r3, ..., rn)
      i: Produktionsfaktoren
      j: Produkt

  2. Minimalprinzip: Gestaltung des Input bei gegebenem Output
    • Input-orientierte Produktionsfunktion:

      für Materialbedarfsplanung
      Einsatzmenge rij = g(x1, x2, x3, ..., xn)
      i: Produktionsfaktoren
      j: Produkt

  3. Gestaltung des Output oder des Input bei wechselnden Rahmenbedingungen industrieller Produktionsprozesse

Substitutionalität

Substitutionalität bedeutet, dass die Veränderung der Einsatzmenge eines Faktors (rn) durch Variation eines anderen Faktors kompensiert werden kann. Zu unterscheiden sind die totale Substitutionalität (alternative Substitutionalität, vollständiger Austausch möglich) und die partielle Substitutionalität (periphere Substitutionalität, teilweiser Austausch möglich).

Ein Substitut ist immer qualitativ mindestens gleichwertig. Im Gegensatz dazu steht das Surrogat (Ersatzstoff), das qualitativ minderwertiger ist.

totale Substitution

Bildbeschreibung "totale Substitution": Als lineare Isoquante. Entlang der Isoquante ist die Ausbringungsmenge x1 konstant. Die Faktoren können sich vollständig ersetzen.

partielle Substitution

Bildbeschreibung "partielle Substitution": Als hyperbolische Isoquante. Die Faktoren können sich nur innerhalb gewisser Grenzen ersetzen.

Anmerkungen:

Übungsaufgabe für eine Produktionsfunktion mit totaler Substitution und linearem Verlauf:
gegeben:
Produktionsfunktion x = 0,5r1 + 0,25r2
-------------------------------------------------------------------
gesucht:
Isoquante für x = 8 Mengeneinheiten
Eine Isoquante ist eine Linie gleichen Ertrages, sie markiert die möglichen Kombinationen der Einsatzfaktoren.
-------------------------------------------------------------------
Da die Ausgangsgleichung nur für eine Mengeneinheit gilt, muss die Gleichung auf 8 Mengeneinheiten angepasst werden:
8 = 8 × 0,5r1 + 8 × 0,25r2
8 = 4r1 + 2r2
wenn r1 = 0 dann r2 = 8 ÷ 2 = 4, um auf 8 Mengeneinheiten zu kommen
wenn r2 = 0 dann r1 = 8 ÷ 4 = 2, um auf 8 Mengeneinheiten zu kommen

Aus diesem Ergebnis ergibt sich folgende graphische Darstellung der Isoquanten:

Beispiel für eine Produktionsfunktion mit totaler Substitution

Bildbeschreibung "Beispiel für eine Produktionsfunktion mit totaler Substitution": Koordinatensystem, r1 wird auf der x-Achse, r2 auf der y-Achse abgetragen. Wenn r1 = 0 dann r2 = 8 ÷ 2 = 4. Wenn r2 = 0 dann r1 = 8 ÷ 4 = 2. Gerade zwischen diesen zwei Punkten (0 , 4) und (2 , 0) zeichnen.

Substitutionale Produktionsfunktionen

  1. Neoklassische Produktionsfunktion (Cobb-Douglas-Funktion): Für makroökonomische Untersuchungen. Hier liegen potentielle Faktoreinsatzmengen zu Grunde.

    x = ar1n × br2m

  2. Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion (Gutenbergsche Produktionsfunktion, Typ A): Gaußsche Glockenkurve
    Ertragsgesetzliche Produktionsfunktionen besagen, dass die Erhöhung eines Einsatzfaktors bei Konstanz der übrigen Faktoren zuerst zu positiv wachsenden Ertragskurven, dann zu positiv fallenden und schließlich negativen Ertragszuwächsen führt.
    Voraussetzungen für die Anwendung:
    • substitutionale Faktorbeziehungen (nicht limitationale)
    • Ausschluss des optimalen Wirkungsgrades eines Betriebsmittels
    • konstante Qualität der Einsatzgüter
    • Herstellung nur eines Produktes
    • unveränderte Produktionstechnik
    Daher ist Typ A ein Ausnahmefall.

Einige Formeln:

Übungsaufgabe:
gegeben:
r1 = 5
r2 = 4
X = 0,1r1² × r2
-------------------------------------------------------------------
gesucht:
r1 um 0,1 absenken, r2 = ?
-------------------------------------------------------------------
Lösung:
Isoquante berechnen:
X = 0,1r1² × r2
= 0,1 × 5² × 4
= 10
GRS = (δx ÷ δr1) ÷ (δx ÷ δr2)
weiteres Vorgehen für den Zähler:
0,1r1² partiell ableiten: 0,2r1
r2 bleibt
weiteres Vorgehen für den Nenner:
r2 partiell ableiten: 1
0,1r1² bleibt
und dann beides in GRS-Formel einsetzen:
GRS = (0,2r1 × r2) ÷ (0,1r1² × 1)
gegebene Werte für r1 und r2 einsetzen:
GRS = (0,2 × 5 × 4) ÷ (0,1 × 5² × 1)
= 4 ÷ 2,5
= 1,6 (für eine Mengeneinheit)
1,6 ist graphisch betrachtet die Steigung der Tangente an der Isoquante im Punkt (r1/r2), also im Punkt (5/4).
nun nach Forderung r1 um 0,1 absenken:
r1 − 0,1
= 5 − 0,1
= 4,9
gegebene Formel X = 0,1r1² × r2 nach r2 umstellen:
r2 = X ÷ 0,1r1²
= 10 ÷ (0,1 × 4,9²)
= 10 ÷ 2,401
= 4,1649
1,6 × 0,1 = 0,16 (für eine Mengeneinheit)
0,16 ist der Zuwachs des Produktionsfaktors r2, wenn r1 um 0,1 abgesenkt wird (von 4 auf 4,16).

Limitationalität

Limitationalität bedeutet, dass die Einsatzfaktoren in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Ein Auto hat beispielsweise vier Räder und ein Steuerrad.

Beispiel für eine limitationale Produktionsfunktion:
Ein Tisch hat vier Beine, eine Tischplatte und 2 Schübe.
Limitationalität: Das Faktorverhältnis ist nicht veränderbar, da sonst ein anderes Produkt hergestellt werden würde. Es liegt eine strenge Proportionalität vor.

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Kostenfunktionen

Von der Produktionsfunktion zur Kostenfunktion

Von der Produktionsfunktion zur Kostenfunktion wird gelangt, wenn die Einsatzfaktoren mit ihren Preisen bewertet werden ("bepreist"):

x = f(r1;r2)
Daraus folgt: x = r1 + r2 (angenommen, dies sei die Produktionsfunktion)
Daraus folgt: x = r1 × p1 + r2 × p2 (bewertet mit den Preisen p1 und p2)
Daraus folgt: x = f(K) (Menge × Preis = Kosten)
Daraus folgt: K = f(x) (die Spiegelung von x=f(K), der Produktionsfunktion, an der 45°-Achse ergibt die Kostenfunktion)

Produktionsfunktion und Kostenfunktion

Bildbeschreibung "Produktionsfunktion und Kostenfunktion": Koordinatensystem. Die Spiegelung der Kostenfunktion an einer 45°-Achse ergibt die Produktionsfunktion.

Kosteneinflussgrößen:

Gesamtkostenfunktion: KG = KF + KV
gesamte/totale Stückkosten: kG = kf + kv oder kG = KG ÷ Ausbringungsmenge x

Kostenfunktionen

Bildbeschreibung "Kostenfunktionen": Abbildung in einem Koordinatensystem. Auf der y-Achse (senkrechte Achse) werden die Kosten (K) abgebildet, auf der x-Achse (waagerechte Achse) wird die Stückmenge (X) abgetragen. Die variablen Kosten (KV) sind in einer Geraden abbildbar, die von links unten nach rechts oben stetig ansteigt (Diese Kostengerade darf auf keinen Fall im Nullpunkt beginnen, da auf jeden Fall Instandhaltungskosten anfallen). Die Gesamtkosten (KG) verlaufen parallel etwas über dieser Geraden. Die Fixkosten (KF) sind in einer Waagerechten abbildbar. Dort, wo die Gesamtkosten-Gerade auf die y-Achse trifft, beginnt diese Waagerechte.

Zu beachten sind drei kritische Kostenpunkte:

  1. Gewinnschwelle: Break-Even-Point (die Stelle, an der Erlös E(x) = Kosten K(x) gilt)
  2. Betriebsminimum: Ableitung der variablen Stückkosten kv'
  3. Betriebsoptimum: Ableitung der Gesamtstückkosten kG'

Übungsaufgabe 1:
gegeben:
KG = 2 + 0,1x3 − 0,6x² + 3,2x
x = 4 (Isoquante)
-------------------------------------------------------------------
gesucht:
Gesamtkosten KG, Grenzkosten KG', variable Stückkosten kv, fixe Stückkosten kf, gesamte/totale Stückkosten kG
-------------------------------------------------------------------
Lösung:
KG = 2 + 0,1×43 − 0,6×4² + 3,2×4 = 11,60
direkt ablesbar: KF = 2
KV = 0,1 × 43 − 0,6 × 4² + 3,2 × 4
= 9,60
KG' = 0,3x² − 1,2x + 3,2
= 0,3×4² − 1,2×4 + 3,2
= 3,2
Interpretation: Wird die Ausbringungsmenge um eine Mengeneinheit gesteigert, steigen die Kosten um 3,20. (Die Probe durch Einsetzen bringt ein ungefähres Ergebnis, wenn auf 0,1 runtergerechnet und dann eingesetzt wird. Also eine infinitisimal kleine Änderung.)
kG = KG ÷ x = 11,60 ÷ 4 = 2,9
kf = KF ÷ x = 2 ÷ 4 = 0,5
kv = kG − kf = 2,9 − 0,5 = 2,4

Übungsaufgabe 2:
gegeben:
Produktionsfunktion x = 2r1 × r20,5
r1 = 5 (ME)
p1 = 3
p2 = 5
-------------------------------------------------------------------
gesucht:
Kostenfunktion K = f(x), Betriebsoptimum Boptimal, Betriebsminimum Bminimal
-------------------------------------------------------------------
Lösung:
KG = KV + KF
r1=5 einsetzen und in Abhängigkeit von der Ausbringungsmenge x setzen:
x = 2 × 5 × r20,5
x = 10r20,5, nach r2 umstellen:
r20,5 = x ÷ 10
quadrieren, um von r20,5 auf 1r2 zu kommen:
r2 = x² ÷ 100
KG = f(x) = r1 × p1 + r2 × p2
r2 einsetzen:
KG = r1 × p1 + x² ÷ 100 × p2
r1, p1 und p2 einsetzen:
KG = 5 × 3 + x² ÷ 100 × 5
= 15 + 1/20x²
Dieses Ergebnis entspricht der Gesamtkostenformel KF (hier: 15) + KV (hier: 1/20x²).
Betriebsminimum kv':
kv = KV ÷ x = 1/20x² ÷ x = 1/20x
kv' = 1/20
Dieser Wert ist ungleich Null, d.h. es gibt kein Betriebsminimum!
Betriebsoptimum kG':
kG = KG ÷ x
= (15 + 1/20x²) ÷ x
= 15÷x + 1/20x²÷x
zweiten Term kürzen:
= 15÷x + 1/20x
Ableitung berechnen:
kG' = −15/x² + 1/20
Ableitung gleich Null setzen und nach x umformen:
−15/x² + 0,05 (0,05 entspricht 1/20) = 0
− 15/x² = −0,05
15÷x² = 0,05
x² ÷ 15 = 1 ÷ 0,05
x² = 1 ÷ 0,05 × 15
x² = 300
x = √ 300
= 17,32
Ergebnis in kG einsetzen:
kG = 15÷17,32 + 0,05×17,32 = 1,74

Minimalkostenkombination

Die Minimalkostenkombination hat zum Ziel, die Faktorkombination mit den geringsten Stückkosten zu finden.

Variante 1 (über den Grenzertrag):
-p1 ÷ p2 = dr2 ÷ dr1
Variante 2 (über die Grenzrate der Substitution):
p1 ÷ p2 = (δx ÷ δr1) ÷ (δx ÷ δr2)

Übungsaufgabe:
gegeben:
x = 10r1r2
K = 2r1 + 3r2
-------------------------------------------------------------------
gesucht:
Minimalkostenkombination für x=60, r1, r2, p1, p2
-------------------------------------------------------------------
Lösung:
p1 = 2 und p2 = 3, da K = p1 × r1 + p2 × r2
-p1 ÷ p2 = -2/3 = dr2 ÷ dr1
60 = 10r1×r2
r2 = 60 ÷ 10r1
kürzen (für Variante 2 genutzt):
r2 = 6 ÷ r1
oder auch umstellen, damit kein Bruch mehr (für Variante 1 genutzt):
r2 = 6r1-1
-------------------------------------------------------------------
Variante 1:
Ausgangspunkt: -p1 ÷ p2 = dr2 ÷ dr1
r2' = −6r1−2 bzw. −6÷r1−2
Minimalkostenkombination, kurz MKK:
Errechnete Werte in Ausgangspunkt-Formel einsetzen:
-2 ÷ 3 = -6r1-2
Umstellen nach r1:
r1² = (3 × 6) ÷ 2 = 9
r1 = √ 9 = 3
Diesen Wert jetzt in oben errechnete Zusammensetzung von r2 einsetzen:
r2 = 6r1-1 = 6 × 3-1 = 2
r1 und r2 jetzt noch in die gegebene Formel für K einsetzen:
KG = 2r1 + 3r2 = 2 × 3 + 3 × 2 = 12
kmin = KG ÷ x = 12 ÷ 60 = 0,2
-------------------------------------------------------------------
Variante 2:
Ausgangspunkt: p1 ÷ p2 = (δx ÷ δx1) ÷ (δx ÷ δx2)
Ablesbar aus K= 2r1 + 3r2:
p1 = 2 und p2 = 3. Sehr schön. Das wäre der linke Teil der Gleichung.
Jetzt der rechte Teil der Gleichung.
Zuerst der Zähler: partielle Ableitung der Produktionsfunktion 10r1r2 nach r1:
δx ÷ δr1 = 10r2
Und nun der Nenner: partielle Ableitung der Produktionsfunktion 10r1r2 nach r2:
δx ÷ δr2 = 10r1
Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt das:
2 ÷ 3 = 10r2 ÷ 10r1 = r2 ÷ r1
Aus den Vorbetrachtungen ist bekannt:
r2 = 6 ÷ r1
eingesetzt in
2 ÷ 3 = r2 ÷ r1
ergibt das
2 ÷ 3 = (6 ÷ r1) ÷ r1 = 6 ÷ r1²
Umstellen nach r1:
3 ÷ 2 = r1² ÷ 6
r1² = 6 × 3 ÷ 2 = 9
r1 = √ 9 = 3
eingesetzt in r2 ergibt sich:
r2 = 6 ÷ r1 = 6 ÷ 3 = 2

Limitationale Produktionsfunktion

Limitationale Produktionsfunktion (Typ B), auch nach Gutenberg:

99 % der Produktionsfunktionen in der Industrie sind limitational. Folgende Veränderungen ergeben sich gegenüber Typ A:

Limitationale Produktionsfunktion

Bildbeschreibung "Limitationale Produktionsfunktion": Abbildung in einem Koordinatensystem. Auf der y-Achse (senkrechte Achse) wird die Intensität (I) abgebildet, auf der x-Achse (waagerechte Achse) werden die Stückkosten (k) abgebildet. Im Koordinatensystem ergibt sich ein Rechteck. Die linke obere Ecke des Rechtecks entsteht durch den Punkt kmin (x-Achse) und Imax (y-Achse). Die linke untere Ecke des Rechtecks entsteht durch den Punkt kmin (x-Achse) und Imin (y-Achse). Die rechte obere Ecke des Rechtecks entsteht durch den Punkt kmax (x-Achse) und Imax (y-Achse). Die rechte untere Ecke des Rechtecks entsteht durch den Punkt kmax (x-Achse) und Imin (y-Achse).

Zwei praktische Fälle bei limitationalen Produktionsfunktionen (Typ B):

  1. Fertigungssysteme mit konstanten Laufgeschwindigkeiten (konstante Intensität). Es gibt nur eine festgelegte Kombination der Einsatzfaktoren.
  2. Fertigungssysteme mit variablen Laufgeschwindigkeiten (variable Intensität). Es gibt für jeden Intensitätsgrad eine festgelegte Kombination der Einsatzfaktoren.

Verbrauchsfunktion

Bildbeschreibung "Verbrauchsfunktion": Die Verbrauchsfunktion (v) beschreibt den Verbrauch von Produktionsfaktoren in Abhängigkeit von der Intensität. In der Graphik sind drei mögliche Verläufe beispielhaft dargestellt: Der mögliche Verlauf für Zeitlohnarbeit (stetig sinkend), Energieverbrauch (erst sinkend, dann stetig steigend) und Materialverbrauch (konstant).

Mögliche betriebliche Situationen für Produktionsfunktion Typ B:

  1. "das Paradebeispiel", aber leider nicht realitätstreu:
    ein Betriebsmittel mit nur einer Verbrauchsfunktion. Das Kostenoptimum liegt somit im Minimum der Verbrauchsfunktion.
  2. ein Betriebsmittel (z.B. eine Maschine) mit mehreren Verbrauchsfunktionen. Das Kostenoptimum liegt im Minimum der Aggregation aller Verbrauchsfunktionen.
  3. mehrere Betriebsmittel werden in Reihe eingesetzt mit jeweils einer Verbrauchsfunktion. Das Kostenoptimum wird im jeweiligen Minimum der Verbrauchsfunktion bestimmt.
  4. (mehrere Betriebsmittel mit mehreren Verbrauchsfunktionen)

Übungsaufgabe für Variante 2 (eine Maschine mit mehreren Verbrauchsfunktionen):
gegeben:
Verbrauchsfunktion 11 v11 = 0,5I² − 3I + 10
Verbrauchsfunktion 12 v12 = I² − 10I + 30
Preis 1 p1 = 2 und Preis 2 p2 = 3
-------------------------------------------------------------------
gesucht:
minimale Stückkosten
-------------------------------------------------------------------
Lösung:
Ausgangspunkt: kv = v1 × p1 + v2 × p2
also ist kv = v11 × p1 + v12 × p2
= (0,5I² − 3I + 10) × 2 + (I² − 10I + 30) × 3
= (1I² − 6I + 20) + (3I² − 30I + 90)
= 4I² − 36I + 110
δk ÷ δI = kv' = 8I − 36
also ist kv'' = 8, dieser Wert wiederum ist größer als Null und somit ein Minimum!
Jetzt wird die Steigung der Tangente kv' = 0 gesetzt:
0 = 8I − 36
Nach Umstellung ergibt sich dann:
Ioptimal = 36/8 = 4,5
An der Stelle I = 4,5 liegt das Optimum.
Der optimale Intensitätsgrad liegt somit bei 4,5 Einheiten pro Stunde.
Um das Minimum zu errechnen, wird jetzt dieser Wert in kv eingesetzt:
kv min = 4I² − 36I + 110
= 4 × 4,5² − 36 × 4,5 + 110
= 81 − 162 + 110
= 29
Minimal erreichbare Stückkosten liegen somit bei 29 Geldeinheiten.
Jetzt kann z.B. für t = 8 Stunden die Ausbringungsmenge ermittelt werden :
x = I × t = 4,5 × 8 = 36 Einheiten
und damit können die Kosten pro Tag (36 × 29 = 1044 Geldeinheiten) kalkuliert werden.

Übungsaufgabe für drei Maschinen mit drei Verbrauchsfunktionen:
gegeben:
Maschine 1: v1 = 0,05I² − 0,7I + 10
Maschine 2: v2 = 0,01I² − 0,1I + 3
Maschine 3: v3 = 0,01I² − 0,2I + 2
Preis 1: p1 = 0,02
Preis 2: p2 = 4
Preis 3: p3 = 100
x = 100
KF = 5000
I1 max = 50
I2 max = 62
I3 max = 30
-------------------------------------------------------------------
gesucht:
K bei Imax
K bei Ioptimal
-------------------------------------------------------------------
Lösung:
Ausgangspunkt: kvn = vn × pn
I1 max = 50 einsetzen:
kv1 = 0,02 × (0,05 × 50² − 0,7 × 50 + 10)
= 0,02 × (125 − 35 + 10)
= 0,02 × 100
= 2
I2 max = 62 einsetzen:
kv2 = 4 × (0,01 × 62² − 0,1 × 62 + 3)
= 4 × (38,44 − 6,2 + 3)
= 4 × 35,24
= 140,96
I3 max = 30 einsetzen:
kv3 = 100 × (0,01 × 30² − 0,2 × 30 + 2)
= 100 × (9 − 6 + 2)
= 100 × 5
= 500
Stückkosten insgesamt, wenn alle drei Maschinen mit jeweiligem Imax gefahren werden:
kv Imax = kv1 Imax + kv2 Imax + kv3 Imax
= 2 + 140,96 + 500
= 642,96
mit K = KF + KV und KV = kv × x ergibt sich:
K = 5000 + (642,96 × 100) = 5000 + 64296 = 69296
Ermittlung von Ioptimal:
kv1 = v1 × p1
= 0,02 × (0,05I² − 0,7I + 10)
= 0,001I² − 0,014I + 0,2
Ableitung bilden: kv1' = 0,002I − 0,014
Ableitung gleich Null setzen: 0 = 0,002I − 0,014
umstellen nach I: I1 optimal = 0,014 ÷ 0,002 = 7
kv2 = v2 × p2
= 4 × (0,01I² − 0,1I + 3)
= 0,04I² − 0,4I + 1,6
Ableitung bilden: kv2' = 0,08I − 0,4
Ableitung gleich Null setzen: 0 = 0,08I − 0,4
umstellen nach I: I2 optimal = 0,4 ÷ 0,08 = 5
kv3 = v3 × p3
= 100 × (0,01I² − 0,2I + 2)
= 1I² − 20I + 200
Ableitung bilden: kv3' = 2I − 20
Ableitung gleich Null setzen: 0 = 2I − 20
umstellen nach I: I3 optimal = 20 ÷ 2 = 10
Ermittlung von KImin:
k1 Imin = p1 × (0,05I1 Imin² − 0,7I1 Imin + 10)
= 0,02 × (0,05 × 7² − 0,7 × 7 + 10)
= 0,02 × 7,55
= 0,151
k2 Imin = p2 × (0,01I2 Imin² − 0,1I2 Imin + 3)
= 4 × (0,01 × 5² − 0,1 × 5 + 3)
= 4 × 2,75
= 11
k3 Imin = p3 × (0,01I3 Imin² − 0,2I3 Imin + 2)
= 100 × (0,01 × 10² − 0,2 × 10 + 2)
= 100 × 1
= 100
kv Imin = k1 Imin + k2 Imin + k3 Imin
= 0,151 + 11 + 100
= 111,151
mit kg min = kv min + kf und kf = KF ÷ x ergibt sich:
kg min = 111,151 + (5000 ÷ 100)
= 111,151 + 50
= 161,151
KG = kv min × x + KF
= 111,151 × 100 + 5000
= 16115,1

Erweiterungsansätze für betriebswirtschaftliche Produktionsfunktionen

Teilweise sind Erweiterungen zur Beschreibung empirischer Kosten- und Produktionsbedingungen notwendig.

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Beschäftigungsabhängige und beschäftigungsunabhängige Kosten

Kapazität und Beschäftigung

Kapazität ist das Leistungsvermögen (kurz: LV) je Kapazitätseinheit (kurz: KE) über einen Zeitraum (kurz: ZR), z.B. hat Maschine A ein LV von 50.000 Stück im Monat. Beschäftigung (kurz: B) ist die genutzte Kapazität (Auslastung), z.B. hat Maschine A 42.351 Stück in diesem Monat hergestellt. Die Beschäftigung entspricht der bisherigen Ausbringungsmenge (x).

Beschäftigungsgrad B° = (B × 100) ÷ LV
Der Beschäftigungsgrad ist immer kleiner oder gleich 100 %.

Kosten in Abhängigkeit von B:

K = f(B)

  1. KF: beschäftigungsunabhängige Kosten
  2. KV: beschäftigungsabhängige Kosten
    • Kp: proportionale Kosten (z.B. Produktionsmaterial, Akkordlohn)
    • Kup: unterproportionale Kosten (z.B. Betriebsmaterial, Energie, Instandhaltung)
    • Küp: überproportionale Kosten (z.B. Überstundenzuschläge, Ausschussnacharbeiten)

Übungsaufgabe:
gegeben:
KF0 = 10000 €
Beschäftigung 0: x0 = 200 Stück
proportionale Kosten kp0 = 5 €/Stück unterproportionale Kosten Kup0 = 3000 €
Beschäftigung 1: x1 = 220 Stück
-------------------------------------------------------------------
gesucht: K0, kg0, K1, kg1
-------------------------------------------------------------------
Lösung:
KG = KF + Kp + Kup (+ überproportionale Kosten K üp)
KG0 = KF0 + Kp0 + Kup0
= 10000 € + (5 € × 200 Stück) + 3000 €
= 10000 € + 1000 € + 3000 € = 14000 €
kg0 = KG0 ÷ x0
= 14000 € ÷ 200 Stück = 70 €/Stück
Und jetzt noch für den zweiten Fall:
Auch hier dürfen die KF0-Werte genommen werden, da KF beschäftigungsunabhängige Kosten sind:
kg1 = KF1 + Kp1 + Kup1 = 10000 € + (5 € × 220 Stück) + Kup1 = 10000 € + 1100 € + Kup1
Reagibilitätsgrad rg, Elastizitätskoeffizient: 0 < rg ≤ 1
gegeben: rg = 0,8
Kup1 = Kup0 + (Kup0 ÷ x0) × [(x1 − x0) × rg]
= 3000 € + (3000 € ÷ 200 Stück) × [(220 Stück − 200 Stück) × 0,8]
= 3000 € + 15 €/Stück × (20 Stück × 0,8)
= 3000 € + 15 €/Stück × 16 Stück
= 3240 €
KG1 = KF1 + Kp1 + Kup1
= 10000 € + 1100 € + 3240 €
= 14340 €
kg1 = KG1 ÷ x1
= 14340 € ÷ 220 Stück
= 65,18 €/Stück
Δ Stückkostensatz sks = kg0 − kg1
= 70 €/Stück − 65,18 €/Stück
= 4,82 €/Stück
Die Differenz liegt also bei 4,82 €/Stück, die bei der zweiten Beschäftigung (x1) eingespart werden.
Und jetzt noch mal mit einem anderen, neu vorgegebenen Wert.
für x1 = 180 Stück:
Kup1 = 3000 € + (3000 € ÷ 200 Stück) × [(180 Stück − 200 Stück) × 0,8]
= 3000 € + 15 €/Stück × (−20 Stück × 0,8)
= 3000 € + 15 €/Stück × −16 Stück
= 2760 €
KG1 = KF1 + Kp1 + Kup1
= 10000 € + (5 € × 180 Stück) + 2760 €
= 10000 € + 900 € + 2760 €
= 13660 €
kg1 = 13660 € ÷ 180 Stück
= 75,89 €/Stück
Δ Stückkostensatz sks = 70 €/Stück − 75,89 €/Stück
= −5,89 €/Stück
Die Differenz liegt hier bei −5,89 €/Stück, die bei der zweiten Beschäftigung (x1) zusätzlich anfallen.